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By Antoine Chambert-Loir

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Observons que j′ (m i ) j′ (m i+1 ) = p(s)p(s)−1 = e ou j′ (m i ) j′ (m i+1 ) = p(s)−1 p(s) = e, si bien que le mot m′ = (m1 , . . , m i−1 , m i+2 , . . , m n ) a même image que m dans F(S). 6). — Tout élément de F(S) est l’image d’un unique mot réduit par p. 8. GROUPES ET MONOÏDES LIBRES, COPRODUITS 45 Démonstration (van der Waerden). — Soit M′ (S)0 l’ensemble des mots réduits de M′ (S). On va faire opérer S dans M′ (S)0 de la façon suivante. Soit s ∈ S et soit m = (m1 , . . , m n ) ∈ M′ (S)0 ; – Si m1 = s′ , on pose s ⋅ m = (m2 , .

Démonstration. — a) On a e n = e ; si a n = e, alors (a−1 )n = (a n )−1 = e ; si a n = b n = e, alors (ab)n = a n b n car A est commutatif, donc (ab)n = e. Cela prouve que l’ensemble indiqué est un sous-groupe de A. b) Soit T cet ensemble. On a e 1 = e, donc e ∈ T. Soit a, b ∈ T ; soit m, n des entiers ⩾ 1 tels que a m = b n = e ; on a donc a mn = b mn = e, donc (ab)mn = e d’après la première assertion. Cette assertion montre aussi que a−1 est d’ordre fini si a est d’ordre fini. Cela démontre que T est un sous-groupe de A.

Soit en effet f ∈ Aut(A) et a ∈ Z ; démontrons que f (a) ∈ Z. Soit b ∈ A et soit b ′ ∈ A tel que f (b ′ ) = b ; On a alors f (a)b = f (a) f (b ′ ) = f (ab′ ) = f (b′ a) = f (b′ ) f (a) = b f (a), si bien que f (a) ∈ Z. 3). — Soit f ∶ A → C un homomorphisme de groupes. Pour a ∈ A et b ∈ Ker( f ), on a f (aba −1 ) = f (a) f (b) f (a)−1 = f (a) f (a)−1 = e, donc aba−1 ∈ Ker( f ). En particuier, le noyau d’un homomorphisme de groupes est donc un sous-groupe distingué. Plus généralement, démontrons l’image réciproque f −1 (B) d’un sous-groupe distingué B de C est un sous-groupe distingué de A.

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Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir


by Charles
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