New PDF release: Algèbre

By Antoine Chambert-Loir

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Foundations of Analysis: A Straightforward Introduction: - download pdf or read online

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Démonstration. — Soit ψ ∶ F(S) → A l’unique homomorphisme de groupes tel que ψ( j(s)) = s pour tout s ∈ S. On a ψ ○ p = φ′ , donc p(R) ⊂ Ker(ψ). Comme Ker(ψ) est un sous-groupe distingué de F(S), on a K ⊂ Ker(ψ), et il existe un homomorphisme de groupes φ ∶ G(S; R) → A tel que φ ○ q = ψ, où q ∶ F(S) → G(S; R) est la surjection canonique. Pour tout s ∈ S, on a ainsi φ( j(s)) = φ(p( j′ (s)) = φ′ ( j′ (s)) = f (s), ce qui démontre que φ ○ j = f . L’unicité d’un tel morphisme résulte de ce que l’image de j engendre G(S; R).

3) (Sous-groupes de Z). — Soit a ∈ Z. Si a = 0, l’ensemble aZ = 0 est un sous-groupe de A. Si a ≠ 0, on remarque que aZ est un sous-groupe de Z dont ∣a∣ est le plus petit élément strictement positif. Inversement, soit A un sous-groupe de Z et démontrons qu’il existe un unique entier a ⩾ 0 tel que A = aZ. Si A = {0}, on pose a = 0. Sinon, A possède un élément non nul, donc aussi un élément strictement positif quitte à considérer l’opposé du précédent. Notons alors a le plus petit élément strictement positif de A.

S m , t1 , . . , t n ) si m, n ∈ N et s1 , . . , s m , t1 , . . , t n sont des éléments de S. Cette loi est associative et possède la suite vide ε = () pour élément neutre. Ainsi, M(S) est un monoïde, qu’on appelle le monoïde libre sur l’ensemble S. On note j l’application de S dans M(S) donnée par j(s) = (s). Elle est injective et son image j(S) engendre M(S). 2) (Propriété universelle du monoïde libre) Soit S un ensemble, soit A un monoïde et soit f ∶ S → A une application. Il existe un unique morphisme de monoïdes φ ∶ M(S) → A tel que φ ○ j = f .

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Algèbre by Antoine Chambert-Loir


by Richard
4.2

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